Minnen från Hilberts hotell - något om den märkliga oändligheten

Föreläsning den 15 april 2003 inom den matematiska lustturen av Torbjörn Tambour

Några ord om hotellets grundare

Hilberts hotell grundades av David Hilbert, 1862-1943. Han var professor vid universitetet i Göttingen, Tyskland, och är utan tvekan en av historiens största matematiker. Hilbert gjorde insatser på nästan alla matematiikens områden och särskilt berömd är han för en föreläsning som han höll på en internationell matematikerkongress i Paris år 1900. I sitt föredrag presenterade han en lista på drygt 20 problem, som han ansåg att 1900-talets matematiker borde syssla med och försöka lösa. De sträcker sig från matematikens grundvalar till mer tillämpade områden som matematisk fysik. Flera av dem har lösts, medan andra fortfarande gäckar forskningen, och man kan med fog säga att de har betytt en hel del för 1900-talets forskning. Här finns mer information om och bilder på David Hilbert.

Hilberts märkliga hotell

Hilberts hotell är större än alla andra hotell du någonsin stött på. Det är så stort att det för varje tal 1,2,3,4,... finns ett rum som har detta nummer. Sålunda finns det ett rum med nummer 7, ett med nummer 13, ett med nummer 666, ett med nummer 4711, ett med nummer 1.000.000 osv. Det är ganska omfattande, som du förstår, men trots att det var dyrt att bygga det så finns det så stora fördelar med att ha så många rum att byggkostnaden har betalats flera gånger om. En annan viktig förklaring till detta är att hotellet har en mycket skicklig och service-minded portier. Hotellet är faktiskt så populärt att det alltid är fullbelagt, vilket man skulle kunna inbilla sig vore en nackdel eftersom det ju inte borde kunna ta emot några nya gäster. Men det är precis vad det kan!

För säg att det kommer en ny gäst en mörk och stormig natt. Inga problem, säger portiern, jag fixar ett rum. Och så vidtar några omflyttningar: gästen i rum 1 får flytta till rum 2, gästen i rum 2 får flytta till rum 3, gästen i rum 3 till rum 4 osv. Den nya gästen kan ta plats i rum 1 och alla är glada och nöjda, i alla fall så nöjda de kan vara efter att ha fått flytta till andra rum.

Nästa kväll -som också är mörk och stormig - kommer en grupp om 15 stycken trötta turister som alla vill bo i varsitt rum. Portiern fixar förstås även det här. Gästen i rum 1 får nu flytta till rum 16, gästen i rum 2 till rum 17 osv. I de nu tomma rummen med nummer 1-15 får de uthungrade turisterna flytta in. Inte ens om det skulle komma en grupp med riktigt många personer, säg 1.000.000, så står portiern rådlös. Hon låter gästen i rum 1 flytta till rom 1.000.001, gästen i rum 2 till rum 1.000.002 osv. De nyanlända får flytta in i de nu tömda rummen 1-1.000.000.

Hittills har portierns problem varit jämförelsevis banala. Visserligen har hon fått köra upp hotellets gäster då och då och bett dem flytta, men det har gått utan knot. En morgon inträffar dock något som borde få den skickligaste portier att förtvivla. Det kommer en grupp nya gäster som tillhör en idrottsförening och de har alla nummerlappar på sig, kanske skall de delta i en orienteringstävling dagen efter. De nya gästerna är så många att det för varje tal 1,2,3,4,... finns en gäst som har detta nummer. Man kan säga att den nya gästerna är lika många som antalet rum i Hilberts hotell (eller lika många som antalet gäster som redan bor på hotellet). Nu duger inte metoden som portiern använde ovan, för till vilket rum skulle gästen i rum 1 flytta? Nej, här krävs nya grepp och idéer. Portiern löser problemet på följande listiga sätt: Gästen i rum 1 får flytta in i rum 2, gästen i rum 2 i rum 4, gästen i rum 3 till rum 6 osv, alltså gästen i rum nummer k till rum 2k. Nu står plötsligt rummen med udda nummer, dvs 1,3,5,..., tomma och i dem kan de nyanlända flytta in!

Skulle det komma två idrottsföreningar med så här många medlemmar, så kan portiern göra plats för båda föreningarna. Nu får de "gamla" gästerna flytta in i rummen med nummer 3,6,9,12,... . Medlemmarna i den första föreningen får flytta in i rum 1,4,7,10,... och de i den andra i rum 2,5,8,11,... . Saken är klar!

Den verkliga prövningen var när hotellet fick gäster som skulle delta i en stor internationell tävling. Det här inträffade när antalet länder på jorden hade vuxit så väldigt att det för varje tal 1,2,3,4,... fanns ett land med detta nummer. Och inte nog med detta: Varje lag bestod av så många deltagare att det för varje tal 1,2,3,4,... fanns en deltagare i laget med detta nummer. Lösningen som portiern kom på var genialisk: Hon numrerade först lagen, så att gästerna som redan bodde på hotellet fick nummer 1 och de nyanlända fick nummer 2,3,4,... . Sedan numrerade hon deltagarna i lagen på samma sätt, dvs 1,2,3,... . Varje deltagare (inklusive hotellets tidigare gäster) blev på så sätt tilldelade två tal, ett för det lag de tillhörde och ett inom själva laget. Vi kan sammanfatta det i form av ett talpar (n,k), där talet n betecknar lagets nummer och talet k är deltagarens nummer inom laget. Exempelvis betyder (3,6) deltagare nummer 6 från lag nummer 3.Nu ordnade portiern alla personer så att hon först räknade upp alla personer med talpar (n,k) i vilka summan n+k=2. Det blev bara en person, nämligen (1,1) (notera att det inte fanns någon med summan 1, för då skulle antingen n eller k vara 0). Därefter kom de som hade summan n+k=3, dvs (1,2) och (2,1); några andra fanns inte. I nästa omgång kommer de som har summan n+k=4, som är (1,3), (2,2) och (3,1). På det här sättet får vi en uppräkning av alla gäster, gamla som nyanlända:

(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) och så vidare.

I den ordningen lät portiern gästerna flytta in i Hilberts hotell.

Om ändliga och oändliga mängder. Kardinalitet.

Vi skall lämna Hilberts hotell innan tanken börjar svindla alltför mycket. Oändligheten har många funderat över: teologer, filosofer, matematiker, författare, poeter. Vi skall inte fördjupa oss i de besvärliga filosofiska frågor som rör oändlighetsbegreppet, utan bara diskutera hur märkligt det kan bli om man betraktar oändligheten som ett tal eller snarare ett antal. Innan vi börjar skall vi införa lite användbar terminologi. En samling objekt brukar i matematiken kallas en mängd. Objekten kan vara precis vad som helst: tal, bokstäver, hundar, politiker, trianglar, ..., och de kallas mängdens element. I matematiken är det förstås vanligt med mängder av tal. Exempelvis kan man tala om mängden av talen 1, 2 och 3, om mängden av talen mellan 1 och 100, eller varför inte om mängden av alla (positiva hela) tal, dvs 1, 2, 3, 4,... . Låt oss kallas mängden av talen 1, 2 och 3 för A och mängden av alla tal 1,2,3,4,... för B. Då är det ju så att varje element i A är ett element i B, men varje element i B är inte ett element i A (6 är ju ett element i B men inte i A). Man säger att A är en delmängd av B.

Mängden A ovan har förstås 3 element och mängden C som består av bokstäverna b, a, c, h har 4 element, men låt oss en stund låtsas att vi inte har tillgång till antalsbegreppet. Kan vi då jämföra storleken av olika mängder? Jo, det kan vi faktiskt. Låt som förut A och C vara mängderna av talen 1, 2 och 3 respektiva av bokstäverna b, a, c, h och låt oss försöka para ihop elementen i dem med varandra. Det kan se ut så här:

1 paras ihop med b

2 paras ihop med a

3 paras ihop med c

Elementet h i mängden C blev utan make i A (ett element får således ingå i högst ett par). Eftersom det blev ett element över i C, så säger vi att C har fler element än A. I matematiken säger man ibland att C har större kardinalitet än A. Låt oss ta ytterligare ett exempel: låt nu A vara mängden av bokstäver i det engelska alfabetet:

A: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z

och B mängden av bokstäver i det vanliga svenska:

B: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,x,y,z,å,ä,ö.

Vi kan ju para ihop elementen i A med sina direkta motsvarigheter i B (dvs a med a, b med b osv) och då blir till slut w över i A och i B har vi kvar å,ä,ö. Men om vi parar ihop w med å, så blir ä och ö över i B och vi ser att B har fler element än A (med andra ord: B har större kardinalitet än A).

Spontant skulle man kanske säga att om B är en delmängd av A och det finns minst ett element i A som inte ingår i B, så har A fler element än B. Så är det förstås för många mängder man stöter på. Exempelvis är mängden B av talen 1,2,3,4 en delmängd till mängden A av talen -3,2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7 och A har mycket riktigt fler element än B. Men det kan egendomligt nog inträffa att delmängden B har lika många element som den stora mängden A, trots att det finns element i A som inte ingår i B - men kom ihåg att här betyder "lika många" att man kan para ihop elementen på ett sådant sätt att inget blir utan partner!

Det här kräver naturligtvis ett klargörande exempel. Låt A vara mängden av alla (positiva hela) tal 1,2,3,4,5,6,... och B mängden av alla jämna tal, dvs 2,4,6,8,10,... . Då är B en delmängd av A, men är inte lika med hela A (eftersom t ex 3 finns i A men inte i B). Men vi kan ju para ihop elementen i de två mängderna så här:

1 i A med 2 i B

2 i A med 4 i B

3 i A med 6 i B

4 i A med 8 i B

5 i A med 10 i B

osv.

Som synes blir inget element i vare sig A eller B utan partner! Det är ganska självklart att detta egendomliga fenomen inte kan inträffa om A har ändligt många element och i själva verket kan man använda det för att definiera vad som menas med en oändlig mängd: man säger helt enkelt att A är en oändlig mängd om det finns en delmängd B som inte består av alla element i A och sådan att elementen i A och B kan paras ihop så att inget blir över på någon sida.

Nu börjar kanske tanken svindla igen och vi skall börja fundera i en annan riktning, nämligen på om och i så fall hur man kan jämföra "antalet" element i oändliga mängder. Jo, det går och vi använder definitionen ovan, nämligen att A och B (som nu är två godtyckliga mängder) har lika många element om elementen i dem kan paras ihop på ett sådant sätt att inget blir över. Men eftersom det låter lite illa att tala om "antal" när man rör sig med oändliga mängder, så skall vi istället säga att A och B har samma kardinalitet (ibland använder man även ordet mäktighet). Vi såg då nyss att mängden av alla tal 1,2,3,4,5,... har samma kardinalitet som mängden av jämna tal 2,4,6,8,... . Det är lätt att inse att mängden av udda tal har samma kardinalitet som de här två, för vi kan ju para ihop talen så här:

1 med 1

2 med 3

3 med 5

4 med 7

5 med 9

osv (till vänster står alltså alla tal, till höger de udda).

Övning 1: Bevisa att mängden av alla tal 1,2,3,4,... har samma kardinalitet som mängden av kvadratiska tal, dvs 1,4,9,16,25,... . (Det här exemplet lär Galileo ha funderat över.)

Övning 2: Bevisa att mängden av tal som är delbara med 7 har samma kardinalitet som mängden av tal som är delbara med 13.

Övning 3: Bevisa att mängden av negativa hela tal (dvs -1,-2,-3,...) har samma kardinalitet som mängden av de udda talen.

Låt oss gå tillbaka ett ögonblick till Hilberts hotell och särskilt det sista problemet som portiern löste. Vad hennes lösning visar är att mängden av talpar (n,k) (dvs (1,1), (1,2), (2,1),...) har samma kardinalitet som mängden av alla tal 1,2,3,... . För vi får ju en hopparning

1 med (1,1)

2 med (1,2)

3 med (2,1)

4 med (1,3)

5 med (2,2)

6 med (3,1)

osv.

Det här är förvisso ganska förvånande, för nog tycker man att antalet talpar borde vara långt större än antalet tal! Om A ett ögonblick är en ändlig mängd, vilken som helst, så kan vi ju bilda den mängd som består av alla par (a,b) av element i A (t ex alla kombinationer av två bokstäver ur alfabetet). Om A har t ex 20 element, så kan vi välja det första elementet (a) på 20 sätt och det andra (b) också på 20 sätt och totalt blir det 20 gånger 20 = 400 par. Detta är ju betydligt fler än antalet element i A! Sensmoralen är att oändliga mängder inte uppför sig alls som man förväntar sig.

Låt oss titta på en annan mängd av tal, nämligen mängden av alla bråk. Ett bråk (eller ett rationellt tal som man säger i matematiken) är ett tal av formen 1/2, -4/3, 365/12 osv. De vanliga hela talen -3,-2,-1,0,1,2,3,... är också bråk, för vi kan ju skriva t ex 5=5/1. Intuitivt tycker man kanske att mängden av bråk måste ha större kardinalitet än mängden av hela tal, men så är det inte och i själva verket har vi redan bevisat det. För svarande mot ett talpar (a,b) där b inte är 0 finns ju bråket a/b, så vi kan använda nästan samma hopparning som nyss mellan hela tal och bråk. (En liten svårighet är att två talpar kan svara mot samma bråk; exempelvis svarar både (2,4) och (3,6) mot bråket 1/2. Men då gör vi helt enkelt så att vi stryker upprepningar.) Mängden av bråktal har alltså samma kardinalitet som mängden av hela tal. Ännu mer förvånande blir det här om man tänker sig de hela talen och bråken markerade på tallinjen. De förra ligger ju ganska glest utspridda på avståndet 1 från varandra, medan bråken ligger "hur tätt som helst". Det är ju nämligen så att mellan två bråk finns det oändligt många andra bråk, vilket följer av att om r och s är två bråk, så är ju (r+s)/2 ett bråk som ligger mellan r och s (och denna operation kan vi upprepa med r och (r+s)/2 osv).

En mängd med större kardinalitet än de hela talen

De mängder vi har stött på hittills har antingen varit ändliga eller haft samma kardinalitet som mängden av hela tal och nu är det dags att plocka fram ett riktigt monster, en mängd som har större kardinalitet. Vi nämnde tallinjen ovan och sa att bråken ligger väldigt tätt på den. Trots detta upptar bråken inte hela tallinjen, utan det finns så att säga luckor. Redan de grekiska matematikerna visste att talet som vi skriver som kvadratroten ur 2, √2, inte kan skrivas som ett bråk (vi skall dock inte bevisa detta faktum här).

En bild på tallinjen

Tal som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella. Mängden av alla tal på tallinjen kallas de reella talen och de omfattar således både de rationella talen (dvs de vanliga bråken) och de irrationella talen. Vi skall se om en liten stund att de reella talen har större kardinalitet än de hela. Beviset kräver lite förberedelser.

En del bråk kan man ju enkelt skriva som decimaltal, t ex 1/2=0,5, 2/5=0,4 och 1/80=0,0125. Försöker man göra det här med 1/3 eller 1/7 så visar det sig att decimalerna inte tar slut, miniräknaren kommer att visa 1/3=0,33333333 och 1/7=0,142857 142857 142857 eller något sådant (beroende på hur många siffror den arbetar med). Bråken 1/3 och 1/7 har alltså inte ändliga decimalutvecklingar, utan oändliga, men de har i alla fall de trevliga egenskapen att vara periodiska. I utvecklingen av 1/3 upprepas 3 hela tiden och i 1/7 är det sviten 142857 som upprepas. Man kan bevisa att alla bråk har periodiska utvecklingar. (I t ex 1/12=0,083333 ... är det bara 3:an som upprepas, inte de inledande siffrorna 08, men innebörden är att det så småningom finns en svit av siffror som upprepas.) Irrationella tal däremot har icke-periodiska decimalutvecklingar. Kvadratroten ur 2 är lika med 1,414213562 ... och här finns det ingen upprepning. Lite förenklat kan man säga att de reella talen består av alla decimalutvecklingar, såväl de periodiska som de icke-periodiska. Vi skall nu bevisa att det inte går att para ihop de reella talen med de hela talen.

För antag att vi hade en sådan hopparning:

1 med r(1)

2 med r(2)

3 med r(3)

4 med r(4)

osv,

där r(1), r(2), r(3), r(4) osv är de reella talen, dvs alla decimalutvecklingar. Låt oss skriva ut dem med sina decimaler:

r(1)=a(1),b(11)b(12)b(13)b(14)...

r(2)=a(2),b(21)b(22)b(23)b(24)...

r(3)=a(3),b(31)b(32)b(33)b(34)...

r(4)=a(4),b(41)b(42)b(43)b(44)...

Här är alltså a(1), a(2) osv heltalet som inleder talet: om r(1)=5,1423 så är a(1)=5. Siffrorna b(ij) är decimalerna. Det första talet i betecknar vilket reellt tal decimalen hör till och det andra decimalens plats i utvecklingen. Om r(1)=5,1423, så är b(11)=1, b(12)=4, b(13)=2, b(14)=3. Om r(4)=3,14159..., så är a(4)=3, b(41)=1, b(42)=4, b(43)=1, b(44)=5, b(45)=9 osv. Vi skall konstruera ett tal r som säkert inte finns med i hopparningen ovan. Decimalutvecklingen av r betecknar vi med r=0,c(1)c(2)c(3)c(4)... och siffrorna c(i) väljer vi så här:

Om b(11)=1, så sätter vi c(1)=2. Om b(11) inte är =1, så sätter vi c(1)=1.

Om b(22)=1, så sätter vi c(2)=2. Om b(22) inte är =1, så sätter vi c(2)=1.

Om b(33)=1, så sätter vi c(3)=2. Om b(33) inte är =1, så sätter vi c(3)=1.

Om b(44)=1, så sätter vi c(4)=2. Om b(44) inte är =1, så sätter vi c(4)=1.

osv.

På det här sättet ser vi tydligen till att r skiljer sig från r(i) i den i:te decimalen. Alltså är r inte lika med r(1), det är inte lika med r(2), inte heller lika med r(3) osv. Således finns r inte med i uppräkningen! Hur vi än försöker para ihop de reella talen med den hela, så måste vi missa minst ett. Det här beviset kallas Cantors diagonalförfarande efter en tysk matematiker, Georg Cantor (1845-1918). Tydligen har de reella talen större kardinalitet än heltalen.

Intuitionen och det oändliga

Vi skall diskutera ytterligare ett exempel på hur intutionen kan ta fel när man tänker på oändligheten. Betrakta bilden nedan. Den föreställer en cirkel och en linje. Nog borde linjen, som sträcker sig oändligt långt åt båda hållen, ha fler punkter än cirkeln, som ju bara har ändlig längd (närmare bestämt pi gånger diametern)? Men tänk så här istället: N i figuren är cirkelns "nordpol". Låt A vara en punkt på cirkel och drag en linje genom N och A. Den skär linjen i A'. I figuren finns även ett annat punktpar B och B'. På det sättet kan vi avbilda varje punkt utom N på en punkt på linjen. Men vi kan också göra tvärtom: Om vi har en punkt A' på linjen så drar vi en linje genom den och N. Denna linje skär cirkeln i en punkt A. Vi ser att vi kan para ihop punkterna på cirkeln (utom N) med punkterna på linjen, så linjen och cirkeln har samma kardinalitet. Avbildningen från cirkeln till linjen kallas för övrigt stereografisk projektion och en tredimensionell version av den använder man för att rita vissa typer av karor.

Stereografisk projektion

Som ett annat exempel kan vi ta två cirklar med olika radier. Visst borde den större av den bestå av fler punkter än den mindre? Nej, om vi placerar dem så att medelpunkterna sammanfaller så ser vi att vi kan para ihop punkterna på dem: givet en punkt P på den inre (mindre) cirkeln drar vi en linje genom P och den gemensamma medelpunkten. Skärningen Q med den större cirkeln är P:s "make".