 | |  | | Hilberts Hotell | | Hemlösa katter, vegetariska recept, blommor och lite matematik |
|  |
| | | | | | | | Vilken bas ska vi välja?
När vi skriver ner tal, lägger ihop dem, utför subtraktioner, multiplcicerar eller dividerar tänker vi inte så ofta på att valet av basen 10, det vill säga decimal form, i vårt sätt att skriva tal inte är helt självklart.
För mycket länge sedan, för cirka 5000-6000 år sedan levde i Tvåflodslandet, ungefär nuvarnade Irak, sumererna, ett folkslag som byggde städer. De införde ett alfabet, kilskriften och de införde positionssystemet när de skrev tal men de använde sig av basen 60.
Positionssystemet är ett mycket effektivt sätt att skriva tal för det blir enkelt att utföra beräkningar och det ger möjlighet att skriva hur stora och hur små tal som helst. Sumererena försvann ur historien men akkadierna och babylonierna tog över deras landområde och de tog även över och utvecklade både skrivkonsten och räknekonsten. Ett minne från denna avlägsna tid lever kvar i vår vardag. Det är från deras val av bas i positionssysemet som vi har 60 minuter på en timme och 60 sekunder på en minut. På denna tid löste man andragradsekvationer och man beräknade roten ur två med sju korrekta siffror. Uträkningen finns mer eller mindre förevigad på en lertavla som nu förvaras på babyloniska institutionen vid Yale University.
Av någon anledning använde inte grekerna positionssystemet när de skrev tal. De gav i stället de olika bokstäverna i sitt alfabet olika talvärden vilket gjorde det svårt att skriva speciellt stora tal. En grekisk filosof undrade om det fanns antal så stora att man inte kunde skriva dem. Hade han känt till positionssystemet hade frågan varit meningslös.
Positionssystemet kom till Europa i skiftet melllan 1100- och 1200-talen. Det var en man som hette Leonado från Pisa, kanske mer känd som Fibonacci, som införde detta sätt att skriva tal i Europa. Han hade lärt sig positionssystemet från en arabisk lärare som han hade haft när hans far med familj under några år bodde i Kartago.
Det tog dock tid innan positionssystemet blev det normala sättet att skriva tal. De rommerska siffrorna bet sig länge fast.
På 1700-talet hade i alla fall positionssystemet slagit igenom och då med basen 10. Men det var nära att man i Sverige i stället skulle ha kommit att använda 8,16 eller 64 som bas. Karl XII var i Sverige en kort tid, närmare bestämt i Lund, 1717-18. Han träffade då Polhem och Swedenborg. De tre herrarna dryftade möjligheten att byta från basen 10 till basen 8, 16, 64 för att få ett system där basen var en jämn kvadrat, en jämn kub eller båda. Karl XII blev inte i Sverige så länge utan drog i fält så hans idéer om byte av bas blev aldrig realiserat.
Idag är det nog ingen som funderar på att byta från basen 10 men i ett sammanhang används basen 2, nämligen internt i datorer. För att inte behöva ha så många siffror som det lätt blir när man skriver tal i basen 2 skiver man i vissa fall talen med basen 8 eller 16. För att skriva talet som betecknas 8 i det decimala systemet behövs fyra siffror om skriver samma sak med basen 2 eller i binär form. Med basen 8 skrivs det decimala talet 8 som 10.
Tyvärr fastnar vi i att tänka enbart i basen 10 men man skulle kunna använda vilken bas som helst. Använder man basen 10 går 5 och 2 jämt upp i basen.
Nedan följer en beskrivning av ett tärningsspel som man kan spela med barn så snart som de kan räkna till tre och som är en bra övning i att räkna med vilken bas som helst innan barnet fastnat i att det bara är 10 som gäller.
Tärningsspel med poängräkning i vilken bas som helst
Material
1 tärning
10-20 brickor med värdet 1
10 brickor med samma värde som basen
10 brickor med värdet på basen upphöjt till 2
1 bricka med värdet basen upphöjt till 3
Man kan vara 2 till fyra spelare. Ju fler spelare desto fler brickor av varje valör behövs.
Spelbrickorna kan tillverkas av kartong i olika färger, till exempel gult, rött och blått. Varje bricka kan göras cirka 1 cm x 6 cm. Gula brickor kan ha värdet 1, röda brickor kan ha samma värde som basen och de blå brickorna kan ha värdet basen upphöjt till 2. Brickan med värdet basen upphöjt till tre kan vara grön.
Om man väljer att spela med basen 3 går spelet till på följande sätt.
De gula brickorna har då värdet 1, de röda har vardera värdet 3 och de blå har värdet 3²=9.
Ett exempel på hur spelet skulle kunna bli:
Den första spelaren slår ett slag med tärningen och om 1 prick kommer upp tar spelaren en bricka med värdet 1. När den andra spelaren kastar tärningen kommer 4 prickar upp. Spelaren tar då 4 gula brickor men eftersom 4 är mer än 3 så byter spelaren tre av de gula brickorna mot en röd.
När den första spelaren slår sitt andra slag kommer 3 upp. Spelaren tar då 3 röda brickor. Sammanlagt har då spelaren 4 gula brickor. Spelaren byter 3 av sina gula brickor till en röd och har efter bytet 1 röd bricka och 1 gul.
Så snart en spelare har tre röda brickor byts 3 röda mot 1 blå. Man fortsätter tills någon av spelarna behöver byta tre blå brickor mot en grön. En grön bricka är ju värd mer än varje kombination av andra färger.
En annan variant är att ha flera gröna brickor och sluta när man gjort till exempel fem rundor. Sedan räknar man efter vem som har mest poäng. Har alla spelare lika många av den färg som har högst värde övergår man till att jämföra vem som har flest av nästa färg. Skulle alla ha lika många även av denna färg tar man nästa och så vidare. Det kan förstås bli oavgjort.
Det går lika bra att spela med basen 2, 4 eller 5 men antalet brickor måste anpassas till hur stor bas man har. Man bör inte välja för stor bas för då blir spelet utdraget fast med lite större barn är det förstås det sätt se hur antalet siffor i ett tal ändrar sig med val av bas. Att spela med basen 10 visar att alla baser fungerar på samma sätt. De gula har då värdet som för alla andra baser värdet 1, var och en av de röda har värdet 10 och de blå har vardera värdet 100.
|
| |
| | |
| |
